【剑指offer】8.斐波那契数列

sf_wangchong 发布于2019-08-23 14:50 / 1960人阅读

摘要：题目题目描述大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数，请你输出斐波那契数列的第项从开始，第项为。基本思路这道题在剑指中实际是当作递归的反例来说的。明显也符合斐波那契数列的规律矩形覆盖我们可以用的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。

题目

题目描述
大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。

基本思路

这道题在剑指offer中实际是当作递归的反例来说的。

递归的本质是吧一个问题分解成两个或者多个小问题，如果多个小问题存在互相重叠的情况，那么就存在重复计算。

f(n) = f(n-1) + f(n-2) 这种拆分使用递归是典型的存在重叠的情况，所以会造成非常多的重复计算。

另外，每一次函数调用爱内存中都需要分配空间，每个进程的栈的容量是有限的，递归层次过多，就会造成栈溢出。

递归是从最大数开始，不断拆解成小的数计算，如果不去考虑递归，我们只需要从小数开始算起，从底层不断往上累加就可以了，其实思路也很简单。

代码

function Fibonacci(n)
{
    if(n<=1){
        return n;
    }
    let i = 1;
    let pre = 0;
    let current = 1;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

扩展 1.跳台阶：

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

找规律：

跳三级台阶等于跳两级台阶的跳法+跳一级台阶的跳法。

跳四级台阶等于跳三级台阶的跳法+跳二级台阶的跳法。

明显也符合斐波那契数列的规律

function jumpFloor(n)
{
    if(n<=2){
        return n;
    }
    let i = 2;
    let pre = 1;
    let current = 2;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

3.矩形覆盖

我们可以用21的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用n个21的小矩形无重叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

跟上面跳台阶那个题很像。

假设有8个块

第1块竖着放，后面还剩7块，共f(7)种方法。

第1块横着放，后面还剩6块，共f(6)种方法。

即f(8)=f(6)+f(7)

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

function rectCover(n)
{
    if(n<=2){
        return n;
    }
    let i = 2;
    let pre = 1;
    let current = 2;
    let result = 0;
    while(i++ < n){
        result = pre + current;
        pre = current;
        current = result;
    }
    return result;
}

3.{{BANNED}}跳台阶

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

每个台阶都可以选择跳或者不跳，最后一个台阶必跳。

每个台阶有两种选择，n个台阶有2的n次方种选择。

所以一共有2的n-1次跳法。

使用位运算

function jumpFloorII(number)
{
    return 1<<(--number);
}

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