机器学习分享——逻辑回归推导以及 numpy 的实现

摘要：我们对不等式两边分别取对数根据贝叶斯公式我们开始假设过，两个类别分别服从均值不等，方差相等的高斯分布，根据高斯分布的公式有高斯分布忽略常数项方差也是相等的是常熟，可以使用矩阵的表示。详细推导对值取幂，以及等式取等号计算。

什么是逻辑回归？
逻辑回归就是这样的一个过程：面对一个回归或者分类问题，建立代价函数，然后通过优化方法迭代求解出最优的模型参数，然后测试验证我们这个求解的模型的好坏。

Logistic 回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别）

回归模型中，y是一个定性变量，比如y=0或1，logistic方法主要应用于研究某些事件发生的概率

概念解释

它的表达式是:

$$ f(x) = frac{1}{1 + e^{- heta}} $$

$$ heta = WX + B $$

可以发现，经过sigmoid函数转换后, 输出值是在[0, 1]之间，可以认为输出是概率，下面就来详细的推导：

为了计算方便, 我们只讨论二分类.

首先, 逻辑回归进行了一个假设，两个类别都服从均值不同，方差相同(方便推导)的高斯分布

$$ p(y|x=0) = mu(mu_0, sigma) $$

$$ p(y|x=1) = mu(mu_1, sigma) $$

高斯分布是比较容易处理的分布，根据中心极限定理也知道，最终会收敛于高斯分布。
从信息论的角度上看，当均值和方差已知时（尽管你并不知道确切的均值和方差，但是根据概率论，当样本量足够大时，样本均值和方差以概率1趋向于均值和方差），高斯分布是熵最大的分布，为什么要熵最大？因为最大熵的分布可以平摊你的风险（同一个值会有两个点可以取到, 不确定性很大），这就好比不要把鸡蛋放到同一个篮子里，想想二分查找中，为什么每次都是选取中间点作为查找点？就是为了平摊风险（假设方差相等只是为了计算方便）。

风险

$$ Risk(y=0|x) = lambda_{00}P(y=0|x) + lambda_{01}P(y = 1|x) $$

$$ Risk(y=1|x) = lambda_{10}P(y=0|x) + lambda_{11}P(y = 1|x) $$

其中，$Risk(y=0|x)$是把样本预测为0时的风险，$Risk(y=1|x)$是把样本预测为1时的风险，
$λ_{ij}$是样本实际标签为j时，却把它预测为i是所带来的风险。

我们认为预测正确并不会带来风险，因此$λ_{00}$和$λ_{11}$都为0，此外，我们认为当标签为0而预测为1 和 当标签为1而预测为0，这两者所带来的风险是相等的，因此$λ_{10}$和$λ_{01}$相等，方便起见，我们记为λ。但在一些领域里，比如医学、风控等，这些λ在大多数情况下是不相等的，有时候我们会选择“宁可错杀一一千也不能放过一个”;

那么我们简化后的表达式:

$$ Risk(y=0|x) = lambda P(y = 1|x) $$

$$ Risk(y=1|x) = lambda P(y=0|x) $$

根据最小化风险的原则，我们通常会选择风险较小的。

比如:

$$ Risk(y=0|x) < Risk(y=1|x) $$

这就说明了预测为第0类的风险小于预测为第1类的风险。

可以得到：

$$ frac{Risk(y=0|x)}{Risk(y=1|x)} < 1 $$

$$ frac{P(y = 1|x)}{P(y=0|x)} < 1 $$

就是说明预测第1类的概率小于第0类的概率。

我们对不等式两边分别取对数

$$ logfrac{{P(y = 1|x)}}{{P(y=0|x)}} < 0 $$

根据贝叶斯公式：

$$ logfrac{P(x|y = 1)p(y=1)}{P(x|y=0)p(y=0)} < 0 $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} + logfrac{p(y=1)}{p(y=0)} < 0 $$

我们开始假设过，两个类别分别服从均值不等，方差相等的高斯分布，根据高斯分布的公式有：

高斯分布

$$ g(x) = frac{1}{2pisigma}e^{-frac{(x - mu)^2}{2sigma^2}} $$

忽略常数项（方差也是相等的）

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} + loge^{(frac{(x - mu_0)^2}{2sigma^2} - frac{(x - mu_1)^2}{2sigma^2})} $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} + (frac{(x - mu_0)^2}{2sigma^2} - frac{(x - mu_1)^2}{2sigma^2}) < 0 $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} < frac{(x - mu_1)^2}{2sigma^2} - frac{(x - mu_0)^2}{2sigma^2} $$

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} < frac{mu_0}{sigma^2}x - frac{mu_1}{sigma^2}x + C $$

C是常熟，可以使用矩阵的表示。

$$ logfrac{P(x|y = 1)}{P(x|y=0)} < heta{X} $$

详细推导

对值取幂，以及等式取等号计算。

$$ frac{P(y=1|x)}{P(y=0|x)} = e^{ heta x} $$

$$ = frac{P(y=1|x)}{1 - P(y=1|x)} = e^{ heta x} $$

$$ = frac{1 - P(y=1|x)}{P(y=1|x)} = e^{- heta x} $$

$$ = frac{1}{P(y=1|x)} - 1 = e^{- heta x} $$

$$ = frac{1}{P(y=1|x)} = e^{- heta x} + 1 $$

$$ = P(y=1|x) = frac{1}{e^{- heta x} + 1} $$

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