王者编程大赛之三 — 01背包

摘要：动态规划概念动态规划过程每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。相关文章王者编程大赛之一王者编程大赛之二蓄水池王者编程大赛之四约瑟夫环王者编程大赛之五最短路径

首发于 樊浩柏科学院

服务目前每月会对搬家师傅进行评级，根据师傅的评级排名结果，我们将优先保证最优师傅的全天订单。

假设师傅每天工作 8 个小时，给定一天 n 个订单，每个订单其占用时间长为 $T_i$，挣取价值为 $V_i$，现请您为师傅安排订单，并保证师傅挣取价值最大。

输入格式
输入 n 组数据，每组以逗号分隔，并且每一个订单的编号、时长、挣取价值以空格分隔
输出格式
输出争取价值和订单编号，订单编号按照价值由大到小排序，争取价值相同，则按照每小时平均争取价值由大到小排序

示例：
输入：[MV10001 2 100,MV10008 2 30,MV10003 1 200,MV10009 6 500,MV10010 3 400]
输出：730 MV10010 MV10003 MV10001 MV10008
输入：[M10001 2 100,M10002 3 210,M10003 3 300,M10004 2 150,M10005 1 70,M10006 2 220,M10007 1 10,M10008 3 30,M10009 3 200,M10010 2 400]
输出：990 M10010 M10003 M10006 M10005

由于本题每个订单每天只被安排一次，是典型地采用 动态规划 求解的 01 背包问题。

动态规划过程：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。

动态规划原理：动态规划与分治法类似，都是把原问题拆分成不同规模相同特征的小问题，通过寻找特定的递推关系，先解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。

假设，师傅挣取价值最大时的订单为 $x_1$,$x_2$,$x_3$,...,$x_i$（其中 $x_i$ 取 1 或 0，表示第 i 个订单被安排或者不安排），$v_i$ 表示第 i 个订单的价值，$w_i$ 表示第 i 个订单的耗时时长，$wv(i,j)$ 表示安排了第 i 个订单，师傅总耗时为 j 时的最大价值。

可得订单价值和耗时的关系图：

因此，可得 动态方程：

$$wv(i,j) = begin{cases}
wv(i-1,j)(j < w(i))
max(wx(i-1,j),wv(i-1,j-w(i))+v(i))(j geq w(i))
end{cases}$$

说明：$j 确定边界

可以确定边界条件 $wx(0,j) = wx(i, 0) = 0$，$wx(0,j)$ 表示一个订单都没安排，再怎么耗时价值都为 0，$wx(i,0)$ 表示没有耗时，安排多少订单价值都为 0。

求解过程，可以填表来进行模拟：

1) 如 i=1,j=1 时，有 $j2) 又如 i=1,j=2 时，有 $j=w(i)$，故 $wx(1,2) = max(wx(1-1,1), wx(1-1,2-w(1)) + v(1) = 100$；
3) 如此下去，直至填到最后一个，i=5,j=8 时，有 $j4) 在耗时没有超过 8 小时的前提下，当前 5 个订单都被安排过时，$wx(5,8) = 730$ 即为所求的最大价值；

尽管 求解 过程已经求出了最大价值，但是并没有得出哪些订单被安排了，也就是没有得出解的组成部分。

但是在求解的过程中不难发现，寻解方程满足如下定义：

$$x(i) = begin{cases}
wv(i,j) = wv(i-1,j)
wv(i,j) neq wv(i-1,j)
end{cases}$$

从表格右下到左上为寻解方向，寻解过程如下：

1) i=5,j=8 时，有 $wv(5,8) != wv(4,8)$，故 $x(5) = 1$，此时 $j -= w(5)$，$j = 5$；
2) i=4 时，无论 j 取何值，都有 $wv(4,j) == wv(3,j)$，故 $x(5) = 0$，此时 $j = 5$；
3) i=3,j=5 时，有 $wv(3,5) != wv(2,5)$，故 $x(3) = 1$，此时 $j -= w(3)$，$j = 4$；
4) i=2,j=4时，有 $wv(2,4) != wv(1,4)$，故 $x(2) = 1$，此时 $j -= w(2)$，$j = 2$；
5) i=1,j=2时，有 $wv(1,2) != wv(1,2)$，故 $x(1) = 1$，此时 $j -= w(1)$，$j = 0$，寻解结束；

实现的类结构如下，特殊的方法已提取出，并将一一详细说明。

class Knapsack
{
    //物品重量,index从1开始表示第1个物品
    public $w = array();
    //物品价值,index从1开始表示第1个物品
    public $v = array();
    //最大价值,$wv[$i][$w]表示前i个物品重量为w时的最大价值
    public $wv = array();
    //物品总数
    public $n = 0;
    //物品总重量
    public $W = 0;
    //背包中的物品
    public $goods = array();

    /**
     * Knapsack constructor.
     * @param array $goods 物品信息,格式如下:
     * [
     *   [index, w, v]   //good1
     *   ...
     * ]
     * @param $c
     */
    public function __construct(array $goods, $c)
    {
        $this->goods = $goods;

        $this->W = $c;
        $this->n = count($goods);
        //初始化物品价值
        $v = array_column($goods, 2);
        array_unshift($v, 0);
        $this->v = $v;
        //初始化物品重量
        $w = array_column($goods, 1);
        array_unshift($w, 0);
        $this->w = $w;
        //初始化最大价值
        $this->wv = array_fill(0, $this->n + 1, array_fill(0, $this->W + 1, 0));

        $this->pd();
        $this->canPut();
    }

    public function getMaxPrice()
    {
        return $this->wv[$this->n][$this->W];
    }
}

动态求解过程：

public function pd()
{
    for ($i = 0; $i <= $this->W; $i++) {
        for ($j = 0; $j <= $this->n; $j++) {
            //未放入物品和重量为空时,价值为0
            if ($i == 0 || $j == 0) {
                continue;
            }

            //决策
            if ($i < $this->w[$j]) {
                $this->wv[$j][$i] = $this->wv[$j - 1][$i];
            } else {
                $this->wv[$j][$i] = max($this->wv[$j - 1][$i], $this->wv[$j - 1][$i - $this->w[$j]] + $this->v[$j]);
            }
        }
    }
}

寻解过程：

public function canPut()
{
    $c = $this->W;
    for ($i = $this->n; $i > 0; $i--) {

        //背包质量为c时,前i-1个和前i-1个物品价值不变,表示第1个物品未放入
        if ($this->wv[$i][$c] == $this->wv[$i - 1][$c]) {
            $this->goods[$i - 1][3] = 0;
        } else {
            $this->goods[$i - 1][3] = 1;
            $c = $c - $this->w[$i];
        }
    }
}

按照订单价值降序获取订单信息（若订单价值相同则按单位时间平均价值降序排列）：

public function getGoods()
{
    $filter = function($value) {
        return $value[3];
    };
    $goods = array_filter($this->goods, $filter);
    usort($goods, function($a, $b) {
        if ($a[2] == $b[2]) {
            if ($a[2] / $a[1] < $b[2] / $b[1]) {
                return 1;
            }
            return 0;
        }
        return $a[2] < $b[2];
    });

    return $goods;
}

接收标准输入处理并输出结果：

$arr = explode(",", $input);
$filter = function ($value) {
    return explode(" ", $value);
};

$knapsack = new Knapsack(array_map($filter, $arr), 8);
$goods = $knapsack->getGoods();

echo $knapsack->getMaxPrice(), " ", implode(" ", array_column($goods, 0)), PHP_EOL;

该题使用动态规划求解，算法的时间复杂度为 $O(nc)$，当然也可以采用其他方式求解。例如先将订单按照价值排序，然后依次尝试进行安排订单，直至剩余耗时不能再被安排订单。

有关动态规划的其他典型应用，请参考 常见的动态规划问题分析与求解 一文。

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