全概公式和贝叶斯公式的理解

摘要：全概率然后再看全概率公式。式子体现的是问题分为两个阶段选人，分割问题计算分割的子问题的条件概率对应的这里来便是选小偷，谁去偷选定的小偷作为条件，那么他去偷的条件概率是什么所以将问题拆解为阶段的问题便是全概率公式针对的问题。

条件概率

首先，理解这两个公式的前提是理解条件概率，因此先复习条件概率。

P(A|B)=P(AB)P(B)
理解这个可以从两个角度来看。
第一个角度：在B发生的基础上，A发生的概率。那么B发生这件事已经是个基础的条件了，现在进入B已经发生的世界，看看A发生的概率是多少。那么分子就是B发生A也发生，分母就是B这个世界发生的概率了。分母如果是1，那么成了什么意思呢？

另一个角度是看韦恩图。这里A在B发生的基础上发生的概率是A和B交集的阴影部分面积占用B的比例。

那么由条件概率出发，看一下变形出来的乘法公式：
P(AB)=P(A)⋅P(B|A)=P(B)⋅P(A|B)
也可以提供上面的两个角度来理解这个公式，虽然可以由上面的直接推导，但是我们认为这是问题的思考的不同角度，不仅仅是公式之间的运算。

一：AB同时发生的概率是在A基础上发生B的概率乘以A本身在外部发生的概率，也是B基础上发生A的概率乘以B本身在外部发生的概率.
二：AB表示的是阴影部分的面积占用A或者B的比例关系。

仅仅从形式上说，竖线后面的要在前面多乘以一个以达到平衡。

全概率

然后再看全概率公式。

一个别人举的例子：

一个村子与三个小偷，小偷偷村子的事件两两互斥，求村子被偷的概率。
解释：假设这三个小偷编号为A1,A2,A2；
偷东西的事件标记为B,不偷的话标记为：B¯¯¯
那么被偷的概率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，
如果是A1, 概率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是两个事件都满足，所以是P(A1B)
同理，可以得到P(A2B),P(A3B)
又因这三个小偷两两互斥，表示不会同时去偷。所以被偷的概率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
当然按照条件概率或者乘法公式展开：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的
问：是不是有想展开为：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的冲动？

当然这个式子是没错的，但是体现不了这个问题的解法：分阶段。

（*）式子体现的是问题分为两个阶段：
1）选人，分割问题
2）计算分割的子问题的条件概率

对应的这里来便是：
1）选小偷，谁去偷
2）选定的小偷作为条件，那么他去偷的条件概率是什么

所以将问题拆解为阶段的问题便是全概率公式针对的问题。

贝叶斯公式

贝叶斯公式有意思极了，简单说就是逆全概公式。

前面是问总体看来被偷的概率是多少，现在是知道了总体被偷了这件事，概率并不知道，问你个更有意思的问题，像是侦探断案：是哪个小偷的偷的，计算每个小偷偷的概率。

这个特性用在机器学习，人工智能领域相当好用。

也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)
Ai:小偷i干的；B:村子被偷了
首先是一个淳朴的条件概率的展开。
分母里出现了P(B),刚刚讨论的全概公式拿来用一用！
而P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)
对应到上面的例子就鲜活一些：村子被偷了，求Ai偷的概率。

自然现在条件是P(B)，分子变形为P(AiB)=P(Ai)⋅P(B|Ai)，是因为假定就是Ai偷的，这是一个已知的概率。
分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)
20161223 update:

除了上面的思路外，通常需要注意的是分阶段意味着时间的先后。在先进行的事件的基础上进行后面的事件，就很容易计算概率：P(AB)=P(A)P(B|A)这种。

所以当我们需要计算先验概率，即先发生的时间的概率时，总是想着用上面的这个类型来计算，且是通过条件概率进行过渡。