盖尔金圆定理及严格对角占优矩阵（SDD）

摘要：盖尔金圆定理盖尔金圆定理是线性代数中一个有趣而实用的定理，可以用它来描述矩阵的特征值。下面给出如何在复平面上画方阵的盖尔金圆的代码，如下该方阵的盖尔金圆分布如下图以下给出盖尔金圆定理在严格对角占优矩阵中的应用。

  盖尔金圆定理（Gersghorin Circle Thorem）是线性代数中一个有趣而实用的定理，可以用它来描述矩阵的特征值。首先我们先来看一下盖尔金圆定理。
  （盖尔金圆定理）对于任意的$n$阶方阵$A$，若$lambda$是$A$的一个特征值，则存在$1leq ileq n$,使得$|lambda - a_{ii}| leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$
证明：
  若$lambda$是$A$的一个特征值，设其特征向量为$x$，可以选取$i$使得$|x_i|=maxlimits_{j=1,2,...,n} |x_{j}|=1,$这总是可以做到的，因为特征向量乘上任何数（除0外）仍为特征向量。
  根据特征值和特征向量的定义，有$Ax=lambda x$,因此有：
$$sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=lambda x_{i}.$$
从而：
$$|(lambda-a_{ii})x_{i}|=|lambda-a_{ii}|leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}x_{j}|leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$$
证明完毕
  对于任意一个方阵，我们只要画出它在复平面上的盖尔金圆，就能推测出特征值的分布情况了，因为该方阵的所有特征值总是在这些圆中某一个内。
  下面给出如何在复平面上画方阵的盖尔金圆的Python代码，如下：

# Plotting Gershgorin Circles for any square matrix
from matplotlib.patches import Circle
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sqrt
import numpy as np

# example matrix, each entity can be complex number
A = np.array([[5, 0, 0, -1],
              [1, 0, -1, 0],
              [-1.5, 1, -2, 1],
              [-1, 1, 1, -3j]
             ],dtype="complex")

# begin plotting figure
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

# Circle: |A[i,i]-z| <= sum(|A[i,j]| for j in range(n) and j != i)
for i in range(A.shape[0]):
    real = A[i,i].real    # each complex"s real part
    imag = A[i,i].imag    # each complex"s image part

    # calculate the radius of each circle
    radius = -sqrt(A[i,i].real**2+A[i,i].imag**2)
    for j in range(A.shape[0]):
        radius += sqrt(A[i,j].real**2+A[i,j].imag**2)

    # add the circle to the  figure and plot the center of the circle
    cir = Circle(xy = (real,imag), radius=radius, alpha=0.5, fill=False)
    ax.add_patch(cir)
    x, y = real, imag
    ax.plot(x, y, "ro")

# title
plt.title("Gershgorin Circles of Matrix")

# show the figure which can be used for analyse eigenvalues of the matrix
plt.savefig("E://GCircle.png")

该方阵的盖尔金圆分布如下图：

  以下给出盖尔金圆定理在 严格对角占优矩阵中的应用。

  严格对角占优矩阵（Strictly Diagonally Dominant Matrix, SDD）是数值分析中的一个重要概念，它能保证Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
  所谓SDD，指的是满足以下条件的方阵：
$$|a_{ii}| > sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|, forall i =1,2,...,n.$$
通俗地来理解，就是主对角线上的每个元素的模（或者绝对值）都大于该元素所在行的所有元素（除掉它本身）的模（或者绝对值）的总和。
  下面给出SDD的几个重要性质。
（SDD的性质）SDD必定是非奇异矩阵。
证明：若$A$为SDD，它不是非奇异矩阵，则$A$至少有一个特征值为0，从而由盖尔金圆定理可知，存在$1leq ileq n$,使得$|a_{ii}| leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$ 此与SDD的定义矛盾。从而SDD必定是非奇异矩阵。

（SDD的性质）若$A$为SDD，则$Ax=b$有解。
证明：因为$A$为SDD，故$A$可逆，从而$x=A^{-1}b.$

（SDD的性质）若$A$为SDD，则对于方程$Ax=b$, Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法收敛。
证明：因为我们还没讲到Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法，因此我们将在之后的博客中给出该性质的证明，敬请期待。