算法设计 - LCS 最长公共子序列&&最长公共子串 &&LIS 最

摘要：若且，则是和的最长公共子序列若且，则是和的最长公共子序列。递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算和的最长公共子序列时，可能要计算出和及和的最长公共子序列。

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.. 拒绝伸手复制党

本章讲解：
1. LCS（最长公共子序列）O(n^2)的时间复杂度,O(n^2)的空间复杂度；
2. 与之类似但不同的最长公共子串方法。
最长公共子串用动态规划可实现O(n^2)的时间复杂度，O(n^2)的空间复杂度；还可以进一步优化，用后缀数组的方法优化成线性时间O(nlogn)；空间也可以用其他方法优化成线性。
3.LIS（最长递增序列）DP方法可实现O(n^2)的时间复杂度，进一步优化最佳可达到O(nlogn)

一些定义：
字符串 X， Y 长度 分别m，n

子串：字符串S的子串r[i,...,j],i<=j,表示r串从i到j这一段，也就是顺次排列r[i],r[i+1],...,r[j]形成的字符串

前缀：Xi =﹤x1，⋯，xi﹥ 即 X 序列的前 i 个字符 (1≤i≤m)；
Yj=﹤y1，⋯，yj﹥即 Y 序列的前 j 个字符 (1≤j≤n)；
假定 Z=﹤z1，⋯，zk﹥∈LCS(X , Y)

有关后缀数组的定义

定义：
一个数列 S，如果分别是两个或多个已知数列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。
例如：输入两个字符串 BDCABA 和 ABCBDAB，字符串 BCBA 和 BDAB 都是是它们的最长公共子序列，则输出它们的长度 4，并打印任意一个子序列. （Note: 不要求连续）

判断字符串相似度的方法之一 - LCS 最长公共子序列越长，越相似。

对于一般性的 LCS 问题（即任意数量的序列）是属于 NP-hard。但当序列的数量确定时，问题可以使用动态规划（Dynamic Programming）在多项式时间解决。可达时间复杂度：O(m*n)
July 10分钟讲LCS视频，

最优子结构性质：
设序列 X= 和 Y= 的一个最长公共子序列 Z=，则：

若 xm = yn，则 zk = xm = yn 则 Zk-1 是 Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列；

若 xm ≠ yn， 要么Z是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列，要么 Z 是X和 Yn-1 的最长公共子序列。
2.1 若 xm ≠ yn 且 zk≠xm ，则 Z是 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列；
2.2 若 xm ≠ yn 且 zk ≠yn ，则 Z 是X和 Yn-1 的最长公共子序列。
综合一下2 就是求二者的大者

递归结构：

递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算 X 和 Y 的最长公共子序列时，可能要计算出 X 和 Yn-1 及 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算 Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列。

递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算 X 和 Y 的最长公共子序列时，可能要计算出 X 和 Yn-1 及 Xm-1 和 Y 的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1 和 Yn-1 的最长公共子序列。

计算最优值：
子问题空间中，总共只有O(m*n) 个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

长度表C 和 方向变量B：

java实现：

 /* 动态规划
 * 求最长公共子序列
 * @ author by gsm
 * @ 2015.4.1
 */
import java.util.Random;
public class LCS {

    public static int[][] lengthofLCS(char[] X, char[] Y){
        /* 构造二维数组c[][]记录X[i]和Y[j]的LCS长度 (i,j)是前缀
         * c[i][j]=0; 当 i = j = 0;
         * c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; 当 i = j > 0; Xi == Y[i]
         * c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j+1]); 当 i = j > 0; Xi != Y[i]
         * 需要计算 m*n 个子问题的长度 即 任意c[i][j]的长度
         * -- 填表过程
         */
        int[][]c = new int[X.length+1][Y.length+1];

        // 动态规划计算所有子问题
        for(int i=1;i<=X.length;i++){
            for (int j=1;j<=Y.length;j++){
                if(X[i-1]==Y[j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                }
                else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                }
                else{
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                }
            }
        }

        // 打印C数组
        for(int i=0;i<=X.length;i++){
            for (int j=0;j<=Y.length;j++){
                System.out.print(c[i][j]+" ");
            }
            System.out.println();
        }
        return c;
    }
    // 输出LCS序列
    public static void print(int[][] arr, char[] X, char[] Y, int i, int j) {
        if(i == 0 || j == 0)
            return;
        if(X[i-1] == Y[j-1]) {
            System.out.print("element " + X[i-1] + " ");
            // 寻找的
            print(arr, X, Y, i-1, j-1);
        }else if(arr[i-1][j] >= arr[i][j-1]) {
            print(arr, X, Y, i-1, j);
        }else{
            print(arr, X, Y, i, j-1);
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        char[] x ={"A","B","C","B","D","A","B"}; 
        char[] y ={"B","D","C","A","B","A"}; 
        int[][] c = lengthofLCS(x,y);
        print(c, x, y, x.length, y.length);
    }
}

定义 2 个字符串 query 和 text, 如果 query 里最大连续字符子串在 text 中存在，则返回子串长度. 例如: query="acbac"，text="acaccbabb"， 则最大连续子串为 "cba", 则返回长度 3.

这个 LCS 跟前面说的最长公共子序列的 LCS 不一样，不过也算是 LCS 的一个变体，在 LCS 中，子序列是不必要求连续的，而子串则是 “连续” 的

我们还是像之前一样 “从后向前” 考虑是否能分解这个问题，类似最长公共子序列的分析，这里，我们使用c[i,j] 表示 以 Xi 和 Yj 结尾的最长公共子串的长度，因为要求子串连续，所以对于 Xi 与 Yj 来讲，它们要么与之前的公共子串构成新的公共子串；要么就是不构成公共子串。故状态转移方程

X[i-1] == Y[j-1]，c[i,j] = c[i-1,j-1] + 1；

X[i-1] != Y[j-1]，c[i,j] = 0；

对于初始化，i==0 或者 j==0，c[i,j] = 0
代码：

public class LCString {
    public  static int lengthofLCString(String X, String Y){
        /* 构造二维数组c[][]记录X[i]和Y[j]的LCS长度 (i,j)是前缀
         * c[i][j]=0; 当 i = j = 0;
         * c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; 当 i = j > 0; Xi == Y[i]
         * c[i][j]=0; 当 i = j > 0; Xi != Y[i]
         * 需要计算 m*n 个子问题的长度 即 任意c[i][j]的长度
         * -- 填表过程
         */
        int[][]c = new int[X.length()+1][Y.length()+1];
        int maxlen = 0;
        int maxindex = 0;
        for(int i =1;i<=X.length();i++){
            for(int j=1;j<=Y.length();j++){
                if(X.charAt(i-1) == Y.charAt(j-1)){
                    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                    if(c[i][j] > maxlen)
                    {
                        maxlen = c[i][j];
                        maxindex = i + 1 - maxlen;
                    }
                }
            }
        }
        return maxlen;
    }

    public static void main(String[] args) {
        String X = "acbac";
        String Y = "acaccbabb";
        System.out.println(lengthofLCString(X,Y)); 
    }
}

有关后缀数组以及求最长重复子串
前面提过后缀数组的基本定义，与子串有关，可以尝试这方面思路。由于后缀数组最典型的是寻找一个字符串的重复子串，所以，对于两个字符串，我们可以将其连接到一起，如果某一个子串 s 是它们的公共子串，则 s 一定会在连接后字符串后缀数组中出现两次，这样就将最长公共子串转成最长重复子串的问题了，这里的后缀数组我们使用基本的实现方式。

值得一提的是，在找到两个重复子串时，不一定就是 X 与 Y 的公共子串，也可能是 X 或 Y 的自身重复子串，故在连接时候我们在 X 后面插入一个特殊字符‘#’，即连接后为 X#Y。这样一来，只有找到的两个重复子串恰好有一个在 #的前面，这两个重复子串才是 X 与 Y 的公共子串

设字符串 X 的长度为 m，Y 的长度为 n，最长公共子串长度为 l。

对于基本算法（brute force），X 的子串（m 个）和 Y 的子串（n 个）一一对比，最坏情况下，复杂度为 O(m*n*l)，空间复杂度为 O(1)。

对于 DP 算法，由于自底向上构建最优子问题的解，时间复杂度为 O(m*n)；空间复杂度为 O(m*n)，当然这里是可以使用滚动数组来优化空间的，滚动数组在动态规划基础回顾中多次提到。

对于后缀数组方法，连接到一起并初始化后缀数组的时间复杂度为 O(m+n)，对后缀数组的字符串排序，由于后缀数组有 m+n 个后缀子串，子串间比较，故复杂度为 O((m+n)*l*lg(m+n))，求得最长子串遍历后缀数组，复杂度为 O(m+n)，所以总的时间复杂度为 O((m+n)*l*lg(m+n))，空间复杂度为 O(m+n)。

总的来说使用后缀数组对数据做一些 “预处理”，在效率上还是能提升不少的。

问题描述：找出一个n个数的序列的最长单调递增子序列： 比如A = {5,6,7,1,2,8} 的LIS是5,6,7,8

1.1 最优子结构：
LIS[i] 是以arr[i]为末尾的LIS序列的长度。则：
LIS[i] = {1+Max(LIS(j))}; j;
LIS[i] = 1, j, 但是不存在arr[j];
所以问题转化为计算Max(LIS(j)) 0

int maxLength = 1, bestEnd = 0;
DP[0] = 1;
prev[0] = -1;

for (int i = 1; i < N; i++)
{
   DP[i] = 1;
   prev[i] = -1;

   for (int j = i - 1; j >= 0; j--)
      if (DP[j] + 1 > DP[i] && array[j] < array[i])
      {
         DP[i] = DP[j] + 1;
         prev[i] = j;
      }

   if (DP[i] > maxLength)
   {
      bestEnd = i;
      maxLength = DP[i];
   }

import java.util.*;

public class LIS {
    public static int lengthofLCS(int[] arr){
        // 辅助变量
        int[] MaxV = new int [arr.length+1]; // 记录递增子序列 LIS 的末尾元素最小值 
        int nMaxLength = 1; // 当前LIS的长度
        int [] LIS = new int[arr.length+1]; //LIS[i]记录的是以第i个元素为结尾的最长序列的长度
        // 初始化
        MaxV[0] = -100;
        MaxV[nMaxLength] = arr[0];
        LIS[0] = 0;LIS[1] = 1;

        for(int i=1;iMaxV[nMaxLength]){
                MaxV[++nMaxLength] = arr[i];
                LIS[i] = LIS[i-1]+1;
            }
            else{
                // 新元素 更小，更有“潜力”，替换大的元素
                int index = binarySearch(MaxV,arr[i],0,nMaxLength);     
                //*     
                LIS[i] =index;
                MaxV[index] = arr[i];
            }
        }
        Arrays.sort(LIS);
        return LIS[LIS.length-1];
    }
    // 在MaxV数组中查找一个元素刚刚大于arr[i]
    // 返回这个元素的index
    public static int binarySearch(int []arr, int n, int start, int end){
        while(start n) {
                end = mid -1;
            }
            else 
                return mid;
        }
        return end;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {2,1,5,3,6,4,8,9,7};
        System.out.println(lengthofLCS(arr));
    }

}