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快速排序算法图解与PHP实现讲解

shleyZ / 1933人阅读

摘要：概述快速排序最初由东尼霍尔提出，是一种平均时间复杂度为，最差时间复杂度为的排序算法。测试算法效率与复杂度完全随机序列排序结果以下面的方法分别生成元素个数为万万的完全随机数组，并用快速排序算法对其排序。

概述

快速排序（QuickSort）最初由东尼·霍尔提出，是一种平均时间复杂度为，最差时间复杂度为的排序算法。这种排序法使用的策略是基于分治法，其排序步骤如wiki百科-快速排序所述：

步骤为：
1.从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
2.重新排序数列，所有比基准值小的元素摆放在基准前面，所有比基准值大的元素摆在基准后面（相同的数可以到任何一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
3.递归地（recursively）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。


递归到最底部时，数列的大小是零或一，也就是已经排序好了。这个算法一定会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

用一张图简单地表现以上步骤（注：图中v就是基准元素）。

下面，我将谈谈实现这种算法的一种简单的方式。

算法实现图解 1. 算法步骤、变量和指针

选定序列最左端的元素v为基准元素，指针i指向当前待比较的元素e，指针j总是指向的最右端，l为序列的最左端，r为序列的最右端。

如果e ≥ v，就将e摆放在深黄色的>v区域；如果e < v，就将v摆放在浅黄色的

完成一次比较之后，指针i会向右移动一位，继续比较下一个元素与基准元素的大小。

2. “摆放”操作与指针移动 情形一：e ≥ v

元素e的位置不改变，自然并入≥v的区域。

指针i向右移动一位，指向下一个待比较元素e。

指针j不需要移动。

情形二：e < v

交换元素e与≥v区域的最左端的元素，即swap(i, j+1)。

指针i向右移动一位，指向下一个待比较元素e。

指针j向右移动一位，指向当前 情形三：单轮排序结束

此时，如图中的第一个序列，v在最左端，然后是交换基准元素v与指针i所指元素，即swap(l, j)，将整个序列分割为接下来，再分别对 PHP实现的例子 

class QuickSort
{
    /**
     * 外部调用快速排序的方法
     *
     * @param $arr array 整个序列
     */
    public static function sort(&$arr) {
        $length = count($arr);
        self::sortRecursion($arr,0,$length-1);
    }

    /**
     * 递归地对序列分区排序
     *
     * @param $arr array 整个序列
     * @param $l int 待排序的序列左端
     * @param $r int 待排序的序列右端
     */
    private static function sortRecursion(&$arr,$l,$r) {
        if ($l >= $r) {
            return;
        }
        $p = self::partition($arr,$l,$r);
        //对基准点左右区域递归调用排序算法
        self::sortRecursion($arr,$l,$p-1);
        self::sortRecursion($arr,$p+1,$r);
    }

    /**
     * 分区操作
     *
     * @param $arr array 整个序列
     * @param $l int 待排序的序列左端
     * @param $r int 待排序的序列右端
     * @return mixed 基准点
     */
    private static function partition(&$arr,$l,$r) {
        $v = $arr[$l];
        $j = $l;
        for ($i=$l+1; $i<=$r; $i++) {
            if ($arr[$i] < $v) {
                $j++;
                self::swap($arr,$i,$j);
            }
        }
        self::swap($arr,$l,$j);
        return $j;
    }

    /**
     * 交换数组的两个元素
     *
     * @param $arr array
     * @param $i int
     * @param $j int
     */
    private static function swap(&$arr,$i, $j) {
        $tmp = $arr[$i];
        $arr[$i] = $arr[$j];
        $arr[$j] = $tmp;
    }
}
QuickSort 类的结构

sort()方法是供外部调用快速排序算法的入口。

partition()方法对序列分区排序，对应步骤二。

sortRecursion()方法递归地调用排序方法，对应步骤三。

swap()方法用于交换序列中的两个元素。

测试算法效率与复杂度 完全随机序列排序结果

以下面的方法分别生成元素个数为1万、10万的完全随机数组，并用快速排序算法对其排序。

// 生成指定元素个数的随机数组
public static function generateRandomArray($n) {
    $list = [];
    for ($i=0; $i<$n; $i++) {
        $list[$i] = rand();
    }
    return $list;
}

在我的计算机运行程序，

当数组元素个数为1万时，排序时间为21.929025650024 ms

当数组元素个数为10万时，排序时间为286.66996955872 ms

元素个数变成原来的10倍，运行时间不到原来的14倍，可见算法的复杂度是级别的。
但是，当待排序的数组是近似顺序排序的数组时，这个算法就会退化为算法。

近似顺序序列排序结果 
/**
 * 生成近似顺序排序的数组
 *
 * @param $n int 元素个数
 * @param $swapTimes int 交换次数
 * @return array 生成的数组
 */
public static function generateNearlyOrderedIntArray($n,$swapTimes) {
    $arr = [];
    for ($i=0; $i<$n; $i++) {
        $arr[] = $i;
    }
    //交换数组中的任意两个元素
    for ($i=0; $i<$swapTimes; $i++) {
        $indexA = rand() % $n;
        $indexB = rand() % $n;
        $tmp = $arr[$indexA];
        $arr[$indexA] = $arr[$indexB];
        $arr[$indexB] = $tmp;
    }
    return $arr;
}

使用上面的方法生成元素个数为1万和10万的近似顺序排序数组，测试结果：

1万：444.75889205933 ms

10万：52281.121969223 ms

由此结果可知：

近似顺序序列的排序时间远远大于完全随机序列。

1万与10万的运行时间相差117倍。当然，由于计算机性能不稳定，程序每次的运行结果都是不同的，但是1万和10万的差距一定是在100这个数量级左右的数字，也就是算法复杂度为级别。

快速排序算法退化

当待排序的序列是近似顺序排序时，因为算法选取的基准点是最左端的点（很大概率是最小的值），所以分区的结果是左边的总的迭代次数接近序列的长度n，如果序列的长度变为原来的10倍，那么迭代的次数也变为原来的10倍，而每轮排序的时间也是原来的10倍，所以总的排序时间是原来的100倍。

优化算法和代码

针对顺序排序导致的算法时间复杂度上升的问题，一个很有效的办法就是改进基准点的选取方法。如果基准点是随机选取的，就可以消除这个问题了。

private static function partition(&$arr,$l,$r) {
    //优化1：从数组中随机选择一个数与最左端的数交换，达到随机挑选的效果
    //这个优化使得快速排序在应对近似有序数组排序时，迭代次数更少，排序算法效率更高
    self::swap($arr,$l,rand($l+1,$r));
    
    $v = $arr[$l];
    $j = $l;
    for ($i=$l+1; $i<=$r; $i++) {
        if ($arr[$i] < $v) {
            $j++;
            self::swap($arr,$i,$j);
        }
    }
    self::swap($arr,$l,$j);
    return $j;
}

依然是1万和10万的近似顺序排序数组，排序时间：

1万：21.579027175903 ms

10万：274.99508857727 ms

可见，排序的时间复杂度又变回级别了。

总结

理解算法实现实现过程的关键：分区的方法，以及指针i和j是如何移动的。

近似顺序序列导致算法从级别退化到级别，随机挑选基准点是解决方法。

这个算法还存在其他的问题，为了解决这些问题，衍生了诸如双路排序和三路排序的快速排序算法，有空再写写单路排序算法的其他问题，并介绍那两种改进的算法。

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