线代-不给“齐次坐标”一个合理解释真的可以安心使用吗？

HtmlCssJs 发布于2021-10-12 10:12 / 3387人阅读

摘要：在课上，可能连为何用齐次坐标都没说，也可能说齐次坐标就是为了解决上述的矛盾。但是，至于为何齐次坐标可以解决这样的矛盾应该很少说明。

1 概述

我们前面了解后知道，矩阵只能做线性变换，那对于一些实际的应用场景，像机械臂末端的位置计算，像素坐标的转换，这些能否用矩阵来实现？经过相关课程的学习，我们知道答案是肯定的。

但是，像机械臂不同关节的坐标系，他们的原点并不重合，不重合就不能属于线性变换了，那不是线性变换不就用不了矩阵了吗？那这不是相互矛盾了？

不知道你是否被这个问题困扰，但学过这些课程的我们一定知道解决问题的关键就出现在齐次坐标。在课上，可能连为何用齐次坐标都没说，也可能说齐次坐标就是为了解决上述的矛盾。但是，至于为何齐次坐标可以解决这样的矛盾应该很少说明。因此，小生今天就尝试给出这样一个操作的合理直观解释。

2 二维坐标系的平移

直接从三维分析很难，因为三维升为四维我们很难想象或者可视化，所以，我们从二维考虑，再进而推广到三维。

2.1 利用齐次坐标实现坐标系的平移

假设我们将一个坐标系的原点从 $(0, 0)$ 平移 $(a, b)$ 处，我们知道无非就是该空间下各个点的横坐标加x，纵坐标加y。那为什么要用矩阵表示呢？我个人的理解是矩阵的表示有利于推导以及计算机的运算，还方便后面的逆运动学求解。所以利用齐次坐标表示该变换如下

三维的类似，写出来如下

但是，看了3b1b的视频之后，我就想，能否用它那种直观的方式来解释这样的变换呢？这个只是凑巧利用矩阵的一个trick，还是可以有所意义？经过了几天的挣扎，问了自称daddy的好兄弟（虽然听不懂他在讲啥，但确实启发了我）。所以我尝试将自己的理解写出来，希望对有同样困惑的同学有所帮助。

2.2 利用高维的线性变换实现低维的空间平移

矩阵只能做线性变换这一点没错，所以你在原先的空间下，必不可能实现空间原点的平移。那该怎么做呢？答案是：提升维度+一个小技巧。

下面以将一个二维平面坐标系向右平移一个单位长度为例子，来讲解这种观点。

首先我们提升维度，则原空间对应的原坐标系矩阵为
小技巧-平面抬升
按道理来说，原坐标的点应该是 $(x, y, 0)$ ，但是这里引入了投射坐标 $(x, y, 1)$ ，很多文章都对这个透视坐标进行了解释，所它的性质，他代表的意义啥的。但我就认为他就是把这个平面向上平移了一个单位长度，变成如下图所示的场景。
三维空间的线性变换
从前面我们知道，变换用到的矩阵应该是

那根据前一篇博客讲的，这个矩阵可以看成三维空间下的一个线性变换。其实就是将z轴绕y轴旋转到如图的位置（新的z轴就是原点与点 $(1, 0, 1)$ 所连成的直线），那这样一变换，原先抬升的二维平面就移动到如下的地方。
Generally：因为变换得到的z轴是原点和 $(a, b, 1)$ ,我们又将平面向上抬升了一个单位长度，所以那个抬升的平面原点就也跟着移动到了 $(a, b, 1)$

4. 最后我们，将坐标利用简单的变换，往下平移一个单位长度。回到我们的二维空间，他成功地向右平移了一个单位长度！

3. 后话

至此，我们给出了齐次坐标的直观解释，虽然很不严谨，但是至少能让我自己更好地接受和运用这个东西。

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